1. 知识回顾

（1）经典时域分析方法

线性时不变（LTI）系统是最常见最有用的一类系统，描述这类系统的输入-输出特性的是常系数线性微分方程。

\[\begin{array}{l}
{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\
{b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t)
\end{array}\]

齐次解：${y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0$

特征方程：\[{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_1}\lambda  + {a_0} = 0\]

• 均为单根：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}} \]
• 有重根（$r$重根）：\[{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}} \]
• 共轭复根（${\lambda _{1,2}} = \alpha  \pm j\beta $）：\[{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)\]
• $r$重复根：\[{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)\]

特解：

• $f(t) = {t^m}$
  • 所有的特征根均不等于0：\[{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {P_1}t + {P_0}\]
  • 有$r$重等于0的特征根：\[{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {P_1}t + {P_0}]\]
$f(t) = {e^{\alpha t}}$：
• $\alpha $不是特征根：\[{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\]
• $\alpha $是特征单根：\[{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\]
• $\alpha $是$r$重特征根：\[{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}}\]
• $f(t) = \cos \beta t$或$\sin \beta t$：
  • 所有特征根均不等于$ \pm j\beta $：\[{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\]
  • $ \pm j\beta $是特征单根：\[{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]\]

全解：\[y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)\]

（2）零输入响应与零状态响应

\[y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)\]

（3）冲激响应和阶跃响应

\[\left\{ \begin{array}{l}
\delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\
\varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau }
\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}
h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\
g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau }
\end{array} \right.\]

（4）卷积积分

\[y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau \]

系统的零状态响应：\[{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)\]

卷积积分的性质：

• 交换律
• 分配率
• 结合律

任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本身：\[f(t) * \delta (t) = f(t)\]

2. 利用MATLAB求LTI连续系统的响应

LTI连续系统以常微分方程描述，如果系统的输入信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。在MATLAB中，控制系统工具箱提供了函数lsim()，能对微分方程描述的LTI连续系统的响应进行仿真。该函数能够绘制连续系统在指定的任意时间范围内时域波形图，还能求出连续系统在指定的任意时间范围内响应的数值解。

• lsim(b,a,x,t);

a和b是描述系统的微分方程系数决定的表示该系统的两个行向量，x和t是表示输入信号的行向量（t表示输入信号的时间范围，x则表示在t定义的时间点上的输入取样值）。

$\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + 2\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + y\left( t \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}f\left( t \right) + 2f\left( t \right)$

$f\left( t \right) = 5{e^{ - 2t}}\varepsilon \left( t \right)$

求零状态响应

a=[1,2,1];
b=[1,2];
p=0.01;
t=0:p:5;
f=5*exp(-2*t);
lsim(b,a,f,t);
ylabel(\'y(t)\');

3. 利用MATLAB求LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应

• impulse(b,a);
• impulse(b,a,t);
• impulse(b,a,t1:p:t2);

• step(b,a);
• step(b,a,t);
• step(b,a,t1:p:t2);

$2\frac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}}y\left( t \right) + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}y\left( t \right) + 8y\left( t \right) = f\left( t \right)$

求冲激响应和阶跃响应

b=1;
a=[2,1,8];
subplot(1,2,1);impulse(b,a);
subplot(1,2,2);step(b,a);

4. 利用MATLAB实现连续时间信号的卷积

• 对连续信号进行采样，得到离散序列；
• 构造与输入离散序列相对应的时间向量；
• 调用conv()函数计算卷积积分；
• 构造与输出序列对应的时间向量。

function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)
%计算连续信号卷积积分复f(t)=f1(t)*f2(t)
%f：卷积积分f(t)对应的非零样值向量
%k：f(t)的对应时间向量
%f1：f1(t)对应的非零样值向量
%f2：f2(t)对应的非零样值向量
%k1：f1(t)的对应时间向量
%k2：f2(t)的对应时间向量
%p：取样时间间隔
f=conv(f1,f2);
f=f*p;
k0=k1(1)+k2(1);
k3=length(f1)+length(f2)-2;
k=k0:p:k3*p;
subplot(2,2,1);plot(k1,f1);title(\'f1(t)\');xlabel(\'t\');ylabel(\'f1(t)\');
subplot(2,2,2);plot(k2,f2);title(\'f2(t)\');xlabel(\'t\');ylabel(\'f2(t)\');
subplot(2,2,3);plot(k,f);h=get(gca,\'position\');
h(3)=2.5*h(3);set(gca,\'position\',h);title(\'f(t)=f1(t)*f2(t)\');
xlabel(\'t\');ylabel(\'f(t)\');
end

p=0.005;
k1=0:p:2;
f1=0.5*k1;
k2=k1;
f2=f1;
[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p);

conv()函数本来是用来做多项式乘法的。

• w = conv(u,v)
• w = conv(u,v,shape)

$({x^2} + 1)(2x + 7) = 2{x^3} + 7{x^2} + 2x + 7$

shape：

• \'full\'：完整的卷积(默认)；
• \'same\'：与u相同大小的卷积的中心部分；
• \'valid\'：只有那些计算卷积时没有在边缘填充0的部分。